Tổng hợp các dạng bài tập hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao

Các chức năng liên tục là một phần quan trọng của kiến ​​thức trong toán học. Để thực hiện các bài tập thuộc loại này, bạn cần nắm bắt vững chắc lý thuyết và các thuộc tính cơ bản. Dưới đây, Khỉ muốn tóm tắt tất cả các kiến ​​thức và bài tập để giúp bạn học tốt hơn. Hãy theo dõi bài viết này!

Xem lại lý thuyết cơ bản về các chức năng

Đầu tiên, chúng ta hãy làm quen với kiến ​​thức về các chức năng liên tục. Hãy xem xét kiến ​​thức của chúng tôi về các chức năng cùng nhau. Vậy một chức năng là gì? Những thuộc tính của các chức năng cơ bản mà chúng ta cần phải nhớ?

Bạn đang xem: Tổng hợp các dạng bài tập hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao

Hàm là gì?

Nói một cách đơn giản, một hàm là một quy tắc được áp dụng cho các số. Nếu chúng ta có một lượng y nhất định, phụ thuộc vào số lượng X có giá trị thay đổi. Sau đó, chúng ta luôn có thể xác định một số lượng tương ứng y. Sau đó số lượng y được gọi là hàm của x.

Hoặc để hiểu chi tiết hơn, chúng ta có thể xác định khái niệm về một chức năng như sau:

• Đặt tập D được gọi là một tập hợp con khác với tập trống R. Khi hàm f được xác định trên tập D là một quy tắc với mỗi x trong D. thì cho một số thực y được gọi là giá trị của hàm f tại điểm x, chúng tôi biểu thị nó như sau y = f (x).

• Bộ D được gọi là tập hợp xác định hoặc còn được gọi là miền xác định. Và x là đối số hoặc biến của hàm F, chúng tôi viết như sau: f: dx⟶ r ⟼ y = f (x); T = {y = f (x) | x∈D} được gọi là miền giá trị hoặc tập hợp các giá trị của hàm đó.

Thuộc tính chức năng cơ bản cần nhớ

Để nêu các thuộc tính của các chức năng, có hai tính chất cơ bản mà bạn cần nhớ khi nghiên cứu để áp dụng trong các bài tập. Hàm y = ax + b (a ≠ 0) được xác định cho tất cả x trong R.

Cần lưu ý rằng thuộc tính của hàm liên tục giống như thuộc tính của hàm và có phần tử “liên tục” bổ sung.

Vui lòng ghi nhớ hai thuộc tính này để áp dụng khi giải các bài tập. Học toán sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều nếu chúng ta nắm bắt chắc lý thuyết.

Chức năng liên tục là gì? (Liên tục ở khoảng 1 điểm/1 phân đoạn/1)

Khi chúng ta hiểu các chức năng, chúng ta hãy tìm hiểu thêm về kiến ​​thức sâu sắc hơn về các chức năng liên tục. Vậy khi nào là một chức năng liên tục? Và tại những điểm nào là nó liên tục?

Trong toán học, khi một hàm được gọi là liên tục, điều đó có nghĩa là nó không có sự thay đổi đột ngột về giá trị. Chúng được gọi là sự không liên tục của chức năng. Cụ thể, khi đầu vào cho chức năng thay đổi rất ít, hàm sẽ có sự khác biệt nhỏ về đầu ra. Khi một hàm không liên tục, nó được gọi là không liên tục.

Khi nghiên cứu cho một chương trình cấp cao hơn, bạn sẽ tìm hiểu về các chức năng liên tục toán học nâng cao và các chức năng liên tục của CASIO. Ở đây, khái niệm về chức năng liên tục được hiểu theo một cách trừu tượng khác.

Chức năng liên tục tại một điểm

Khi nào một chức năng liên tục ở 1 điểm? Cho một hàm y = f (x) được xác định trên một khoảng (a; b) và x0 thuộc về (a; b). Sau đó, hàm f (x) sẽ liên tục tại x0 khi: lim[x→x0] f (x) = f (x0). Khi hàm không liên tục tại điểm X0, có thể nói rằng hàm không liên tục ở X0.

Giả sử các hàm y = f (x), y = g (x) được coi là liên tục tại điểm x0. Sau đó:

• Các hàm y = f (x) + g (x) và y = f (x) – g (x), y = f (x) .g (x) sẽ liên tục tại x0.

• Hàm y = f (x)/g (x) sẽ liên tục tại x0 nếu g (x0) khác với 0.

Chức năng liên tục trong một khoảng thời gian

Chúng ta có hàm y = f (x) được gọi là hàm liên tục trên khoảng (a; b) khi nó liên tục tại các điểm trong khoảng đó.

Xem thêm : Tổng hợp 10+ kênh học toán lớp 3 miễn phí nhưng chất lượng

Khi hàm đã cho liên tục trên khoảng (a; b), sau đó trong khoảng đó, đồ thị của hàm sẽ là một dòng liên tục và không bị phá vỡ.

Chức năng liên tục ở một phân đoạn

Hàm y = f (x) được coi là liên tục trên phân đoạn [a;b] Khi nó liên tục trên mọi điểm trong khoảng (a; b) và sau đó: limx → a + f (x) = f (a), limx → b – f (x) = f (b).

Định lý cơ bản của các hàm liên tục

Để giúp người đọc hiểu rõ hơn về các chức năng liên tục. Dưới đây, timhieulichsuquancaugiay.edu.vn đã tóm tắt ngắn gọn kiến ​​thức về định lý của các chức năng liên tục. Hãy theo dõi để thực hiện các bài tập tốt hơn!

Định lý 1: Khi tính toán tổng, sản phẩm, thương số và sự khác biệt của hai hàm liên tục tại một điểm. Sau đó, các chức năng đó sẽ liên tục tại thời điểm đó (thương số và mẫu số tại thời điểm đó phải khác với 0).

Định lý 2:

1. Hàm đa thức liên tục trên R.

2. Các hàm lượng giác và phân số hợp lý là liên tục trong các khoảng thời gian được chỉ định của tập hợp.

3. Các chức năng cơ bản sẽ luôn luôn được liên tục trong các khoảng thời gian nhất định.

Định lý 3: Nếu hàm y = f (x) được coi là liên tục trên phân đoạn [a;b] và f (a) .f (b) nhỏ hơn 0, thì sẽ luôn tồn tại ít nhất một điểm C trong (a; b) sao cho f (c) = 0.

Các hình thức toán học phổ biến của các chức năng liên tục

Để củng cố thêm kiến ​​thức của bạn về các chức năng liên tục, bên dưới timhieulichsuquancaugiay.edu.vn muốn giới thiệu với bạn một số hình thức toán học phổ biến về các chức năng liên tục.

Mẫu 1: Xem xét tính liên tục của hàm tại một điểm cụ thể.

Để xác định tính liên tục của một hàm đã cho tại điểm X0, chúng tôi thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Kiểm tra xem hàm đã cho được xác định trên một khoảng có chứa X0 hay không, sau đó tính toán giá trị tại F (x0).
• Bước 2: Tính toán Limx → X0F (x). Trong nhiều trường hợp, chúng ta cần tính toán Limx → X0 + F (x), Limx → X0 – F (x).
• Bước 3: So sánh Limx → x0f (x) với f (x0) và kết luận.

Mẫu 2: Xem xét tính liên tục, chứng minh rằng hàm liên tục trong một khoảng hoặc tập hợp được chỉ định

Để giải quyết vấn đề này, hãy xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Xem xét tính liên tục của hàm: f (x) = (x2+5x)/x khi x khác với 0 và khi x = 0, trên R.

Hướng dẫn:

Rõ ràng chúng ta có thể thấy rằng khi X khác với 0, hàm đã cho luôn là hàm phân số. Và nó hoàn toàn quyết định, vì vậy nó liên tục trong mỗi khoảng thời gian.

Do đó, bây giờ chúng ta chỉ cần xem xét tính liên tục tại x = 0. Chúng ta có:

Giá trị của hàm tại x = 0 là f (0) = 5

Giới hạn của hàm tại x = 0 là Limx → 0f (x) = Limx → 0.2 + 5.x = Limx → 0 (x + 5) = 5

Chúng ta thấy rằng Limx → 0f (x) = f (0) vì vậy hàm đã cho sẽ liên tục tại x = 0

Một mẹo nhỏ: Bạn có thể sử dụng chức năng của máy tính để tính toán một hàm liên tục nhấn máy ảnh. Vui lòng sử dụng phím giải quyết trên máy tính để nhanh chóng kiểm tra câu trả lời cho vấn đề.

Xem thêm : Dạy bé đếm số hiệu quả với 10 bí quyết cực đơn giản phụ huynh cần thử ngay!

Xem thêm: Lý thuyết về các chức năng đồng biến và các loại bài tập ứng dụng phổ biến

Mẫu 3: Tìm điều kiện cho hàm được liên tục tại một điểm

Để giải quyết loại vấn đề này, chúng tôi sử dụng phương pháp sau. Đầu tiên, chúng ta cần áp dụng điều kiện là phương trình có giải pháp và hàm liên tục:

Phương trình f (x) = 0 phải có ít nhất một giải pháp nếu hàm y = f (x) liên tục trên D, hai số A và B đều thuộc về D.

Mẫu 4: Tìm điều kiện cho hàm được liên tục trên một khoảng hoặc tập hợp được chỉ định

Để giải quyết hình thức này, bạn cần áp dụng Định lý 1 và 2 để tìm tính liên tục của nó trên mỗi khoảng thời gian được chỉ định. Nếu hàm đã cho được xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, thì chúng tôi sẽ xem xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt đó.

Ví dụ: Tìm một để hàm liên tục trên miền: f (x) = (2 – 7x + 5×2)/(x – 1) với điều kiện x khác với 1 hoặc x = 1

Hướng dẫn giải pháp:

• Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp X khác với 1, thì hàm đã cho là một phần hợp lý.

• Khi x = 1, thay thế vào hàm đã cho. Sau đó, hàm f (x) liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi m = -4/3.

Mẫu 5: Áp dụng các hàm liên tục để chứng minh rằng phương trình có giải pháp

Đầu tiên chúng ta cần áp dụng định lý: nếu hàm y = f (x) liên tục trên phân đoạn [a; b] Cho và f (a) .f (b) nhỏ hơn 0, phương trình f (x) = 0 sẽ luôn có ít nhất 1 dung dịch trong khoảng (a; b).

Các bước cụ thể để chứng minh rằng phương trình có một giải pháp như sau:

• Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho để chứng minh thành mẫu F (x) = 0.

• Bước 2: Tiếp theo, bạn cần tìm hai số A và B (A nhỏ hơn b) sao cho f (a) .f (b) nhỏ hơn 0

• Bước 3: Cuối cùng, chứng minh rằng hàm y = f (x) luôn luôn liên tục trên phân đoạn [a; b] đã đưa cho.

Bài tập về tính chất của các chức năng liên tục để học sinh thực hành

Ngoài các bài tập trong sách giáo khoa toán học lớp 11, dưới đây là một số bài tập tham khảo liên quan đến các chức năng liên tục để bạn thực hành:

Trên đây là kiến ​​thức chung về các chức năng liên tục. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn trong quá trình học tập của bạn. Vui lòng thực hành cẩn thận các hình thức toán học mà khỉ đã giới thiệu trong bài viết để học tốt hơn!

Nguồn: https://timhieulichsuquancaugiay.edu.vn
Danh mục: Giáo dục