Gợi ý bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế và cách học hiệu quả

Các bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế thường sẽ có nhiều kiến ​​thức khó để học sinh thực hành. Nhưng nếu chinh phục được loại toán này thì sẽ rất hữu ích cho tương lai của mọi người vì khả năng ứng dụng của nó cực kỳ cao.

Ứng dụng phái sinh trong kinh tế là gì?

Toán học vốn có tính ứng dụng rất cao trong kinh tế từ công việc Đi mua sắm, mua bán, tính toán chi phí… Đặc biệt, chương phái sinh này chủ yếu được ứng dụng trong kinh tế học để biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư đúng đắn.

Bạn đang xem: Gợi ý bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế và cách học hiệu quả

Rất đơn giản! Đầu tiên người ta sẽ sử dụng hàm mô tả đại lượng kinh tế quan tâm, sau đó chỉ cần áp dụng công thức đạo hàm để phân biệt nó là có thể dự đoán được tốc độ tăng trưởng của doanh nghiệp trong tương lai. tương lai.

Ngoài ra, trong lĩnh vực kinh tế, phái sinh còn có ứng dụng tuyệt vời trong việc dự đoán nơi hàm số cần tính đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất, từ đó giúp doanh nghiệp tối ưu hóa các hoạt động khác. nhau một cách hiệu quả.

Cụ thể, nếu đạo hàm dương (hàm số tăng) và sau đó đột ngột chuyển sang đạo hàm âm (hàm số giảm). Lúc này nó đã đi qua vị trí mà hàm số đạt giá trị cực đại, cũng là vị trí mà đạo hàm bằng 0.

Từ quan sát này, bằng cách tìm các vị trí có đạo hàm bằng 0, người ta sẽ biết một đại lượng sẽ đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất ở đâu để tối ưu hóa nó như mong muốn.

Đặc biệt, dựa vào điểm này, công ty sẽ dễ dàng tính toán nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để đạt được lợi nhuận tốt nhất.

Công thức tính đạo hàm trong kinh tế

Công thức tính đạo hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:

p=- 1/3Q3 + 14Q2 + 60Q – 54

Trong đó:

• p là lợi nhuận của nhà sản xuất
• Q là mức sản lượng để đạt được lợi nhuận p

Ứng dụng phái sinh trong kinh tế như thế nào?

Trong kinh tế học, toán học có ý nghĩa vô cùng to lớn trong việc giúp doanh nghiệp tính toán được kết quả, mục tiêu mà mình đặt ra. Đặc biệt, với chủ đề toán đạo hàm chúng thường được ứng dụng trong kinh tế học với các bài tập cơ bản như:

Đạo hàm và xu hướng biến đổi của hàm số

Ở dạng toán đạo hàm này trong kinh tế học, chúng ta sẽ phải giải hai bài toán: mối liên hệ giữa đạo hàm và xu hướng thay đổi của hàm số, cùng với đó là xác định khoảng tăng giảm của hàm số. cụ thể:

Mối liên hệ giữa đạo hàm và xu hướng biến đổi của hàm số

Định lý 1: Điều kiện cần

Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a;b), thì:

• f(x) tăng đơn điệu trên khoảng (a;b) => f'(x) ³ 0, “xÎ (a;b)
• f(x) giảm đơn điệu trên khoảng (a;b) => f'(x) £ 0, “xÎ (a;b)

Định lý 2: Điều kiện đủ

Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a;b), thì:

• f'(x) > 0, “xÎ(a;b) => f(x) tăng đơn điệu trên khoảng (a;b)
• f'(x) “xÎ(a;b) => f(x) giảm đơn điệu trên khoảng (a;b)
• f'(x) = 0, “xÎ(a;b) => f(x) có giá trị không đổi trên khoảng (a;b)

Xác định phạm vi tăng hoặc giảm của hàm

Để có thể tính khoảng tăng giảm của hàm số y = f(x) trong kinh tế học, người ta dựa vào các bước sau:

• Bước 1: Xác định miền xác định của hàm
• Bước 2: Tính đạo hàm y' tương ứng của hàm số
• Bước 3: Tiến hành xét dấu của đạo hàm vừa tính được.
• Bước 4: Từ bảng đạo hàm rút ra kết luận về khoảng tăng giảm của hàm số tương ứng.

Ví dụ:

Tìm điểm cực trị của hàm số

Xem thêm : Tổng hợp lý thuyết định luật bảo toàn năng lượng cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm f(x) được xác định liên tục trên đoạn (a;b). Trong đó:

• f(x) được gọi là đạt cực đại tại điểm x0 Î(a;b) nếu $d > 0 sao cho: “xÎ(a;b), 0 0| d Þ f(x) 0)
• f(x) được gọi là đạt cực tiểu tại điểm x0 Î(a;b) nếu $d > 0 sao cho: “xÎ(a;b), 0 0| d Þ f(x) > f(x0)

Trong đó, điểm cực tiểu và điểm cực đại sẽ được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.

Vì vậy, để có thể tìm được điểm cực trị của hàm số trong việc ứng dụng đạo hàm trong kinh tế học, đòi hỏi phải hiểu rõ điều kiện cần và đủ của chúng. Cụ thể:

Điều kiện cần thiết:

Nếu hàm số f(x) đạt cực đại tại x0Î(a;b) và f(x) có đạo hàm tại x0 thì: f '(x0) = 0

Kết luận: Hàm số f(x) đã cho chỉ có thể đạt giá trị cực đại tại điểm giới hạn tương ứng là – , chúng thuộc một trong hai loại: điểm dừng (điểm mà đạo hàm tại khoảng đó bị loại bỏ). ) và điểm tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

Đủ điều kiện:

Giả sử x0 là một trong các điểm tới hạn của hàm số và đạo hàm của chúng có dấu xác định trên khoảng (x0 – d; x0), (x0; x0+ d) của x0.

Nếu chúng đi qua điểm x0 có đạo hàm thay đổi tương ứng thì hàm số sẽ đạt cực đại tại điểm đó

• X0 là điểm cực đại nếu f'(x) đổi dấu từ + thành –;
• X0 là điểm cực tiểu nếu f'(x) đổi dấu từ – thành +;
• Nếu qua điểm X0 đạo hàm không đổi dấu thì hàm số sẽ không đạt cực trị tại điểm đó.

Các bước tìm cực trị của hàm số

Để có thể tìm được giá trị cực trị của hàm số y = f(x) đã cho, bạn có thể áp dụng các bước sau:

• Bước 1: Tính miền xác định của hàm tương ứng
• Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số
• Bước 3: Tính các điều kiện cần của hàm số để tìm điểm tới hạn. Bao gồm việc tìm điểm dừng hoặc chỉ ra các điểm trong miền có hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 4: Xét điều kiện đủ của đạo hàm ứng với từng điểm tới hạn và rút ra kết luận tương ứng.

Ví dụ:

Ý nghĩa của các bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế

Về việc xác định ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế học, chúng ta sẽ tính đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế học, cũng như đạo hàm bậc hai với quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Cụ thể

Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế

Ở đây chúng ta sẽ tính đạo hàm bậc nhất và giá trị cận biên. Cụ thể, khi xét mô hình hàm số y = f(X), trong đó x và y là các biến kinh tế.

Lúc này, giá trị y – giá trị cận biên của x tại x = x0 (Mf(x0)) là giá trị mô tả sự thay đổi về giá trị của chính y khi x thay đổi 1 đơn vị ở giá trị ban đầu x = x0, tương ứng Mf(x0) = f(x0+1) – f(x0).

Khi xét đạo hàm ta có: Mf(x0) = f(x0+1) – f(x0) ≈ f '(x0).

Một số mô hình hàm cận biên là:

• Hàm chi phí sản xuất: TC = TC(Q)
• Chi phí cận biên: MC = TC'(Q)
• Hàm doanh thu: TR = TR(Q)
• Doanh thu cận biên: MR = TR'(Q)
• Hàm lợi ích: U = U(x)
• Lợi ích cận biên: MU = U'(x)
• Hàm sản xuất ngắn hạn: Q = f(L)
• Giá trị sản phẩm vật chất cận biên của lao động: MPPL = f'(L).

Tính đạo hàm bậc hai theo quy luật hữu dụng cận biên giảm dần

Dựa trên mô hình hàm y = f(x), trong đó y là biến thể hiện lợi ích của doanh nghiệp (ví dụ: lợi nhuận, doanh thu, thu nhập…) và x là biến mô tả yếu. hệ số mang lại giá trị y.

Quy luật hữu dụng cận biên giảm dần phát biểu rằng x càng lớn thì y càng nhỏ. Đồng thời, điều kiện để My giảm Û f”(x) £ 0.

Tính độ co giãn của cung và cầu theo giá

Tính độ co giãn của hệ số cầu theo giá là một phép tính vì lượng thay đổi được tính dựa trên % lượng cầu khi giá tăng 1%.

Ở đây, chúng ta có hàm cầu tương ứng QD = D(p). eD = D'(p). p/D(p)

Độ co giãn của cung theo giá là tính phần trăm thay đổi của lượng cung khi giá tăng 1%.

Ở đây, chúng ta có hàm cung QS = S(p), tương ứng. eS = S'(p). p/S(p)

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế học dựa trên phái sinh sẽ tiến tới lựa chọn mức sản lượng tối ưu cùng với việc lựa chọn mức sử dụng tối ưu dựa trên các yếu tố đầu vào. Cụ thể:

Chọn mức đầu ra tối ưu

• Tổng chi phí: TC = TC(Q)
• Tổng doanh thu: TR = TR(Q).

Điều kiện để chọn mức sản lượng Q để tối đa hóa lợi nhuận là gì?

Giải pháp:

Tìm Q sao cho p = TR(Q) – TC(Q) đạt giá trị cực đại. Điều kiện cần chính là p' = TR'(Q) – TC'(Q) = 0 Û MR = MC.

Tại thời điểm này, lợi nhuận sẽ được tối đa hóa nếu doanh thu cận biên của công ty bằng chi phí cận biên. Tương ứng với điều kiện đủ chính là: p”Û TR”(Q) > Û TR''(Q)

Lưu ý: Khi thực hiện phép tính này mọi người cần kiểm tra chính xác điều kiện đủ dựa vào dấu đạo hàm cấp 1 ở trên.

Chọn mức sử dụng tối ưu dựa trên các yếu tố đầu vào

Ở đây mọi người sẽ sử dụng:

• Hàm sản xuất ngắn hạn tương ứng là Q = f(L)
• Giá bán sản phẩm là p; giá nhân công là wL; Chi phí cố định là C0

Bây giờ, chọn mức độ sử dụng lao động để tiết kiệm chi phí và tối đa hóa lợi nhuận?

Giải: Trước tiên, bạn cần tìm L sao cho p = pf(L) – wL.L – C0 đạt giá trị lớn nhất.

Điều kiện cần tương ứng là p'=0 Û p.MPPL – wL = 0. Lúc này, lợi nhuận sẽ tối đa hóa nếu giá trị tiền tệ của sản phẩm vật chất cận biên của lao động bằng giá thuê lao động. .

Điều kiện đủ là khi p”Û f ”(L) >Û f ''(L)

Danh sách bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế

Dựa trên những kiến ​​thức lý thuyết trên, để thấy được tầm quan trọng của phái sinh trong kinh tế, dưới đây là một số bài tập để các bạn áp dụng và thực hành.

Xem thêm: Công thức đạo hàm nâng cao lớp 11 và bài tập hay giải bài tập học sinh nên biết

Kết luận

Trên đây là tổng hợp các thông tin được cung cấp về ý nghĩa, tầm quan trọng của bài tập ứng dụng đạo hàm trong kinh tế. Qua đây có thể thấy toán học là môn học quan trọng, mang lại nhiều giá trị hỗ trợ tốt hơn cho kinh tế học.

Nguồn: https://timhieulichsuquancaugiay.edu.vn
Danh mục: Giáo dục